Question

10．已知关于x的不等式kx²-2x+3k＜0．
（1）若不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-1}，求k的值；
（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；
（2）根据不等式kx²-2x+3k＜0的解集为∅，讨论k的取值，求出结果即可．

解答 解：（1）由不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-1}，
可知k＜0，-3和-1是一元二次方程kx²-2x+3k=0的两根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-3×（-1）=3}\\{-3+（-1）=\frac{2}{k}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$；
（2）因不等式kx²-2x+3k＜0的解集为∅，
若k=0，则不等式-2x＜0，
此时x＞0，不合题意；
若k≠0，则$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\△=4-4k×3x≥0\end{array}\right.$，
解得$0＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
综上，实数k的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．