Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．

设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|

∴

两边平方化简得：即（x﹣4）2+（y﹣1）2=4

即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆，

∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π

（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x﹣3y=0，

由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y﹣2=0，

由 得 ，故点G点的坐标为 ．

又点E的坐标为（1，0），故kEG=2，kDF=﹣

所以kEGkDF=﹣1，即证得：EG⊥DF

【解析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出动点M的轨迹方程，即可求出围成区域的面积；（2）求出直线AC，DF的方程，可得G的坐标，计算kEGkDF=﹣1，即可得到结论．