(Ⅰ)解:
………………1分
. ………………3分
(Ⅱ)证明:因为
,
,
所以
. ……………4分
因为
,所以
,或
.
若
,则
当
时,上式
,
当
时,上式
,
当
时,上式
,
即当
时,
. ……………………6分
若
,
则
,
.(同前)
所以,当
时,
成立. …………………7分
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)
下面来证明当
时,
为递减数列.
(ⅰ)证明
.
若
,则由引理知交换
的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.
若
,则
,与已知矛盾.
所以,
. ………………………9分
(ⅱ)设
,证明
.
若
,则由引理知交换
的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.
若
,则
,与已知矛盾.
所以,
. …………………11分
(ⅲ)设
,证明
.
若
,考查数列
,
则由前面推理可得
,与
矛盾.
所以,
. …………………12分
综上,得证.
同理可证:当
时,有
为递增数列. ……………………13分