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定义为有限项数列的波动强度.
(Ⅰ)当时,求
(Ⅱ)若数列满足,求证:
(Ⅲ)设各项均不相等,且交换数列中任何相邻两项的位置,都会使数列的波动强度增加,求证:数列一定是递增数列或递减数列
(Ⅰ)解:      ………………1分
.            ………………3分
(Ⅱ)证明:因为

所以. ……………4分
因为,所以,或.
,则
时,上式
时,上式
时,上式
即当时,.  ……………………6分


.(同前)
所以,当时,成立.    …………………7分
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)
下面来证明当时,为递减数列.
(ⅰ)证明.
,则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.
,则,与已知矛盾.
所以,.                                      ………………………9分
(ⅱ)设,证明.
,则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.
,则,与已知矛盾.
所以,.                                             …………………11分
(ⅲ)设,证明.
,考查数列
则由前面推理可得,与矛盾.
所以,.                                            …………………12分
综上,得证.
同理可证:当时,有为递增数列.                 ……………………13分
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