Question

（2012•北京）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为

2

2

，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN的面积为

10

3

时，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为

2

2

，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离，利用△AMN的面积为

10

3

，可求k的值．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为

2

2

，
∴

a=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

∴b=

2

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-4

1+2k2

∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 (1+k2)(4+6k2)

1+2k2

∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为d=

|k|

1+k2

∴△AMN的面积S=

1

2

|MN|d=

|k| 4+6k2

1+2k2

∵△AMN的面积为

10

3

，
∴

|k| 4+6k2

1+2k2

=

10

3

∴k=±1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．