Question

18．给出下列命题：
①存在实数x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$的图象；
④定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），当0≤x≤1时，f（x）=2x，
则f（2015）=-2．
其中正确命题是④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①，由 sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$；不可能；
②举反例：α=420⁰，β=10⁰是第一象限角，且α＞β，则cosα＞cosβ；
③函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=2sin2（x+$\frac{π}{4}$）的图象；
④定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x）⇒f（x+2）=f（-x）=-f（x）⇒f（x+4）=f（x）⇒周期T=4；则f（2015）=f（3）=f（-1）．

解答 解：对于①，由 sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$；不可能，故错；
对于②，举反例：α=420⁰，β=10⁰是第一象限角，且α＞β，则cosα＞cosβ，故错；
对于③，函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=2sin2（x+$\frac{π}{4}$）的图象，故错；
对于④，定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x）⇒f（x+2）=f（-x）=-f（x）⇒f（x+4）=f（x）⇒周期T=4；则f（2015）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-2，故正确．
故答案：④．

点评 本题考查了命题的真假判定，涉及到了三角函数的概念及性质，属于中档题．