Question

7．已知函数$f（x）=\sqrt{2}sin（{ωx+φ}）（{ω＞0}）$的图象关于直线$x=\frac{π}{2}$对称且$f（{\frac{3π}{8}}）=1，f（x）$在区间$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上单调，则ω可取数值的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意直线$x=\frac{π}{2}$是对称轴，$f（{\frac{3π}{8}}）=1，f（x）$在$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上是同一区间，根据三角函数的性质可求ω取数值的个数为．

解答 解：由题意：函数$f（x）=\sqrt{2}sin（{ωx+φ}）（{ω＞0}）$的图象关于直线$x=\frac{π}{2}$对称，$f（{\frac{3π}{8}}）=1，f（x）$在区间$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上单调，即在$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上是同一单调区间．
∴当x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值或最小值，即$\frac{ωπ}{2}+$φ=±$\frac{π}{2}$+kπ…①，
sin（$\frac{3π}{8}ω$+φ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{3π}{8}ω$+φ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{8}ω$+φ=$\frac{3π}{4}$，…②，
∵在$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上是同一区间，
∴$\frac{π}{8}＜\frac{T}{2}$，即ω＜8．
∴0＜ω＜8．
由①②解得：πω=8（$±\frac{π}{2}+kπ-\frac{3π}{4}$）或πω=8（$±\frac{π}{2}+kπ-\frac{π}{4}$），k∈Z．
经检验：ω可取数值的个数为2．
故选B．

点评 本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力．属于中档题．