Question

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线$x=\frac{π}{32}$对称且$f（{-\frac{π}{32}}）=0$，如果存在实数x₀，使得对任意的x都有$f（{x_0}）≤f（x）≤f（{{x_0}+\frac{π}{8}}）$，则ω的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 由题意直线$x=\frac{π}{32}$是对称轴，对称中心为（$-\frac{π}{32}$，0），${x}_{0}＜x＜{x}_{0}+\frac{π}{8}$不在同一增区间，根据三角函数的性质可求ω的最小值．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线$x=\frac{π}{32}$对称且$f（{-\frac{π}{32}}）=0$，
∴ω$\frac{π}{32}$+φ=kπ$+\frac{π}{2}$…①，-ω$\frac{π}{32}$+φ=kπ…②，ωx₀$+\frac{ωπ}{8}$+φ$≤\frac{π}{2}+2kπ$且（ωx₀+φ）≥$-\frac{π}{2}$+2kπ…③
由①②解得ω=8，φ=kπ+$\frac{π}{4}$，（k∈Z）
当k=0时，ω=8，φ=$\frac{π}{4}$，③成立，满足题意．
故得ω的最小值为8．
故选C．

点评 本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力．属于中档题．