Question

4．已知函数f（x）=-f'（0）e^x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e^x上，则|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令x=0，可得切线l的斜率和切点，切线方程l，再求y=e^x导数，由过Q的切线与切线l平行时，距离最短．求得切点Q的坐标，运用点到直线的距离公式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=-f'（0）e^x+2x，
可得f′（x）=-f'（0）e^x+2，
即有f′（0）=-f'（0）e⁰+2，
解得f′（0）=1，
则f（x）=-e^x+2x，
f（0）=-e⁰+0=-1，
则切线l：y=x-1，
y=e^x的导数为y′=e^x，
过Q的切线与切线l平行时，距离最短．
由e^x=1，可得x=0，
即切点Q（0，1），
则Q到切线l的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查点到直线的距离公式运用，运算能力，属于中档题．