Question

14．已知F₁、F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₁且垂直于x轴的直线交双曲线C于P、Q两点，若△F₂PQ为正三角形，则双曲线C的离心率e的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，c的关系．

解答 解：由△F₂PQ是正三角形，则在Rt△PF₁F₂中，有∠PF₂F₁=30°，
∴|PF₁|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，又|PF₂|-|PF₁|=2a．
∴|PF₂|=4a，|PF₁|=2a，又|F₁F₂|=2c，
又在Rt△PF₁F₂中，|PF₁|²+|F₁F₂|²=|PF₂|²，
得到4a²+4c²=16a²，∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$
∴e=$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 熟练掌握直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理、离心率的计算公式等是解决本题的关键．