Question

11．化简求值
（1）化简$\frac{x-1}{{{x^{\frac{2}{3}}}+{x^{\frac{1}{3}}}+1}}+\frac{x+1}{{{x^{\frac{1}{3}}}+1}}-\frac{{x-{x^{\frac{1}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}-1}}$；
（2）若2lg（3x-2）=lgx+lg（3x+2），求${log_{\sqrt{x}}}\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用乘法公式化简即可得出．
（2）利用对数函数的定义域、运算法则即可得出．

解答 解：（1）原式=$\frac{{{{（{{x^{\frac{1}{3}}}}）}^3}-{1^3}}}{{{{（{{x^{\frac{1}{3}}}}）}^2}+{x^{\frac{1}{3}}}+1}}+\frac{{{{（{{x^{\frac{1}{3}}}}）}^3}+{1^3}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}+1}}-\frac{{{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}-{x^{\frac{1}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}-1}}$
=$\frac{{（{{x^{\frac{1}{3}}}-1}）（{{x^{\frac{2}{3}}}+{x^{\frac{1}{3}}}+1}）}}{{（{{x^{\frac{2}{3}}}}）+{x^{\frac{1}{3}}}+1}}+\frac{{（{{x^{\frac{1}{3}}}+1}）（{{x^{\frac{2}{3}}}-{x^{\frac{1}{3}}}+1}）}}{{{x^{\frac{1}{3}}}+1}}-\frac{{{x^{\frac{1}{3}}}（{{x^{\frac{1}{3}}}-1}）（{{x^{\frac{1}{3}}}+1}）}}{{{x^{\frac{1}{3}}}-1}}$
=${x^{\frac{1}{3}}}-1+{x^{\frac{2}{3}}}-{x^{\frac{1}{3}}}+1-{x^{\frac{2}{3}}}-{x^{\frac{1}{3}}}=-{x^{\frac{1}{3}}}$
（2）由2lg（3x-2）=lgx+lg（3x+2），得$\left\{{\begin{array}{l}{3x-2＞0}\\{x＞0}\\{3x+2＞0}\end{array}}\right.$，∴$x＞\frac{2}{3}$．
又（3x-2）²=x（3x+2），
∴x=2或$\frac{1}{2}$（舍），∴${log_{\sqrt{x}}}\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}={log_{\sqrt{2}}}{（{\sqrt{2}}）^{\frac{7}{4}}}=\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了乘法公式、对数函数的定义域、指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．