Question

3．已知曲线C在y轴右边，C上的每一点到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C有两交点A，B，若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意：曲线C上的任意点到点F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设过点M（m，0），（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程为x=ty+m，与抛物线方程联立，得y²-4ty-4m=0，利用$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$＜0恒成立，由此能求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意：曲线C上的任意点到点F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
∴曲线C的方程是y²=4x，x＞0．
（Ⅱ）设过点M（m，0），（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设l的方程为x=ty+m，
与抛物线方程联立，得y²-4ty-4m=0，
△=16t²+16m＞0，y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，①
又$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
∵$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$＜0，∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0，②
等价于$\frac{1}{16}$（y₁y₂）+²y₁y₂-$\frac{1}{4}$[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]+1＜0
由①式，m²-6m+1-4t²＜0，
∵4t²≥0
∴只需m²-6m+1＜0即可．
即：3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$，
∴所求m的取值范围为3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数方程思想的合理运用．