Question

【题目】已知幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A(2,2).

(1)试比较2ln f(3)与3ln f(2)的大小；

(2)定义在R上的函数g(x)满足g(-x)=g(x), g(4+x)=g(4-x)，且当x∈[0,4]时，

. 若关于x的不等式g 2(x)+ng(x)>0在[-200,200]上有且只有151个整数解，求实数n的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) 2ln f(3)>3ln f(2)..

(2) .

【解析】分析：（1）两数相除与1比较大小即可；

（2）由()′＝知,函数y＝在[1,e]单调递增,在(e,4]单调递减，g(-x)=g(x)且g(4+x)=g(4-x)，故g(4+x)=g(x-4)，从而g(x)为周期T=8的偶函数.画出g(x)在一个周期内的图象，利用数形结合分析即可.

详解：函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1；又由于其图象经过点A(2,2)，则有α＝1.所以f(x)＝x.

(1)＝＝＝>1

由于2ln f(3)>0, 3ln f(2)>0, 所以2ln f(3)>3ln f(2).

(2) 由()′＝知,函数y＝在[1,e]单调递增,在(e,4]单调递减.

因为g(-x)=g(x)且g(4+x)=g(4-x),故g(4+x)=g(x-4),从而g(x)为周期T=8的偶函数.

由当x∈[0,4]时，g(x)＝, 得g(x)在一个周期内的图像如图所示:

①当n=0时，显然不合题意;

②当n>0时，g 2(x)+ng(x)>0g(x)[g(x)+n]>0g(x)<-n或g(x)>0.

在[-200,200]上的整数解共有401-100=301个，显然不合题意；

③当n<0时，g2(x)+ng(x)>0g(x)[g(x)+n]>0g(x)<0或g(x)>-n.

由(1)知: >=, 要使不等式g 2(x)+ng(x)>0在[-200,200]上有且只有151个整数解, 只需≤-n<, 解得:- <n≤-.

综上, -<n≤-.