Question

【题目】命题p：f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q：正数x，y满足x＋2y＝8，且 恒成立. 若p∨(q)为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】实数a的取值范围是(－∞，－1)．

【解析】分析：先求出关于为真时的a的取值范围，根据p∨(q)为假命题，得到p假q真，得到关于a的不等式组，解出即可.

详解：当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a≤2，解得－1≤a≤0；

当0<a<1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1≤2，解得0<a<1；

当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a≤2，解得1≤a≤2.

所以使命题p为真的a的取值范围是[－1,2]．

由x＋2y＝8，得＋＝1，又x，y都是正数，

所以＋＝＝＋≥＋2＝1，当且仅当即时，等号成立，故min＝1.

因为a≤＋恒成立,所以a≤1,所以使命题q为真的a的取值范围是(－∞，1]．

因为p∨(q)为假命题，所以p假q真，

所以则a<－1，

故实数a的取值范围是(－∞，－1)．