Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)

……………………4分

∴ 函数f(x)的最小正周期……………………6分

(2)当时，

∴ 当，即时，f(x)取最小值－1 ………9分

所以使题设成立的充要条件是，

故m的取值范围是(－1,＋∞) ………10分

【解析】

（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+），从而求出它的最小正周期．（Ⅱ）根据，可得 sin（2x0+）∈[﹣，1]，f（x0）的值域为[﹣1，2]，若存在使不等式f（x0）＜m成立，m需大于f（x0）的最小值．

（Ⅰ）∵

＝[2sinx+cosx]cosx﹣＝sin2x+﹣+cos2x

＝sin2x+cos2x=2sin（2x+）

∴函数f（x）的最小周期T＝．

（Ⅱ）∵，∴2x0+∈[，]，∴sin（2x0+）∈[﹣，1]，

∴f（x0）的值域为[﹣1，2]．

∵存在，使f（x）＜m成立，∴m＞﹣1，

故实数m的取值范围为（﹣1，+∞）．