Question

已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），焦点F为 （0，1），点P（x₁，y₁）是抛物线上的任意一点，过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A（s，t）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若x₁∈[1，4]，求s的取值范围．
（3）过点A作抛物线C的另一条切线AQ，其中Q（x₂，y₂）为切点，试问直线PQ是否恒过定点，若是，求出定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的焦点F（0，1）可求P，进而可求抛物线的方程
（2）由导数的几何意义可得过P的切线斜率，进而可求切线方程，在切线方程中，令y=-1可求S关于x₁的函数，结合函数的单调性可求S的范围
（3）猜测直线PQ恒过点F（0，1），由题得P(x1，

x 2 1

4

)，Q(x2，

x 2 2

4

)，x₁≠x₂，要证点P、F、Q三点共线，只需证k_PF=k_QF，

解答：（本题满分15分）
解：（1）由抛物线的焦点F（0，1）可得p=2
故所求的抛物线的方程为x²=4y…（3分）
（2）由导数的几何意义可得过P的切线斜率k=y′|x=x1=

1

2

x1．
∴切线方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)．
∵准线方程为y=-1． 
在切线方程中，令y=-1       …（5分）
可得s=

x1

2

-

2

x1

．           …（7分）
又s在[1，4]单调递增
∴s的取值范围是-

3

2

≤s≤

3

2

．…（10分）
（3）猜测直线PQ恒过点F（0，1）…（11分）
由题得P(x1，

x 2 1

4

)，Q(x2，

x 2 2

4

)，x₁≠x₂
要证点P、F、Q三点共线，只需证k_PF=k_QF，即证x₁x₂=-4…（13分）
由（2）知s=

x1

2

-

2

x1

，同理得s=

x2

2

-

2

x2

，故

x1

2

-

2

x1

=

x2

2

-

2

x2

∴

x1-x2

2

=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

∵x₁≠x₂
∴x₁x₂=-4
∵K_PF=

x12-1 4

x1

=

x12-1

4x1

，KQF=

x22-1

4x2

=

(- 1 x1 )2- 1

4(- 1 x1 )

=

1-x12

-4x1

=

x12- 1

4x1

=K_PF
从而可知点P、F、Q三点共线，即直线PQ恒过点F（0，1）…（15分）

点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程及利用导数的几何意义求解曲线的切线方程，其中解（2）的关键是熟练应用函数y=

x

2

-

2

x

的单调性．