Question

已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0且p为常数），过焦点F作直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①求证：4x₁x₂=p²
②若抛物线C的准线l与x轴交于N点且AB⊥AN，求|x₁-x₂|

Answer 1

分析：（1）结合要证明的结果可联想到将A，B所在得直线方程与抛物线C的方程为y²=2px（p＞0且p为常数）联立然后利用根与系数的关系即可得证，而根据题意F（

p

2

，0）故可利用点斜式写出直线AB的方程但要分斜率存在与否进行讨论．
（2）根据题意易得N(-

p

2

，0)再根据AB⊥AN可得k_AB•k_AN=-1再结合y₁²=2px₁以及第一问的结论4x₁x₂=p²，化简即可得解．

解答：解：（1）设直线AB的方程为y=k(x-

p

2

)（k≠0）
（当 k=0时，显然不合题意）
联立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

⇒k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0
由韦达定理得：x1x2=

p2

4

，即4x₁x₂=p²
当AB的斜率k不存在时，AB的方程为x=

p

2

此时x1=x2=

p

2

，4x₁x₂=p²也成立．
（2）抛物线y²=2px的准线方程为x=-

p

2

，准线与x轴交点N(-

p

2

，0)，A（x₁，y₁）（显然x₁≠0）kAN=

y1

x1+ p 2

，kAB=kAF=

y1

x1- p 2

∵AB⊥AN∴

y1

x1+ p 2

•

y1

x1- p 2

=-1得y12=

p2

4

-x12
但y₁²=2px₁由①知：

p2

4

=x1x2，故有2px₁=x₁x₂-x₁²
又x₁≠0∴2p=x₂-x₁即有：|x₂-x₁|=2p

点评：本题主要是对直线与圆锥曲线的综合问题的考查．解题的关键是第一问要对直线的斜率存在与否进行讨论而第二问要对AB⊥AN这一条件的常用运算技巧熟悉（即k_AB•k_AN=-1）在得出y12=

p2

4

-x12后结合要求的结果|x₁-x₂|故需利用点A在抛物线上以及第一问的结论再对上式代入化简求值！