Question

17．已知sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），则cos（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{-2\sqrt{6}-1}{6}$．

Answer 1

分析 由α的范围求出α+$\frac{π}{6}$的范围，进一步求出cos（α+$\frac{π}{6}$），把要求的三角函数式变形后展开两角和的余弦得答案．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），∴$α+\frac{π}{6}∈$（$\frac{π}{2}，π$），
由sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，得cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=cos[（α+$\frac{π}{6}$）$+\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）$•cos\frac{π}{6}$-sin（α+$\frac{π}{6}$）•sin$\frac{π}{6}$
=$-\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{-2\sqrt{6}-1}{6}$．
故答案为：$\frac{-2\sqrt{6}-1}{6}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角、配角”思想的应用，是中档题．