Question

17、如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证B₁C∥平面A₁BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B₁C与平面A₁BD内一直线平行，连接AB₁与A₁B相交于M，根据中位线可知B₁C∥MD，又B₁C不属于平面A₁BD，满足定理所需条件；
（2）当点E为C₁C的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE，欲证平面A₁BD⊥平面BDE，根据中位线定理可知DE∥AC₁，而AC₁平面A₁BD，则DE⊥平面A₁BD，又DE?平面BDE，满足定理所需条件．

解答：证明：：（1）连接AB₁与A₁B相交于M，则M为A₁B
的中点，连接MD，又D为AC的中点，
∴B₁C∥MD，又B₁C不属于平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）当点E为C₁C的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE，
∵D、E分别为AC、C₁C的中点，∴DE∥AC₁，∵AC₁⊥平面A₁BD，
∴DE⊥平面A₁BD，又DE?平面BDE，∴平面A₁BD⊥平面BDE．

点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．