Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n，数列{b_n}的前n项和S_n=n²+2n+1．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）首先根据a_n+1=3a_n可知数列{a_n}是公比为3的等比数列，然后根据公比和首项即可求出{a_n}的通项公式；当n≥2时，根据b_n=S_n-S_n-1求通项公式，然后验证b₁=S₁=4，不符合上式，因此数列{b_n}是分段数列；
（Ⅱ）先写出数列{c_n}的通项公式，然后计算出T_n-3T_n，进而求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）由题意知数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，其通项公式为a_n=3^n-1；
数列{b_n}满足b₁=S₁=4，n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n+1．所以，数列{b_n}的通项公式为bn=

4，(n=1) 2n+1．(n≥2)

（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=anbn=

4，(n=1) (2n+1)•3n-1，(n≥2)

T_n=4+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1∴3T_n=12+5•3²+7•3³+9•3⁴+…+（2n+1）•3ⁿ，（8分）
两式相减得-2Tn=7+2(32+33+34++3n-1)-(2n+1)•3n=7+2

9(3n-2-1)

3-1

-(2n+1)•3n=-2-2n•3n
所以T_n=n•3ⁿ+1，（n≥2），
综上，数列{c_n}的前n项和T_n=n•3ⁿ+1，（n∈N₊）．（12分）

点评：本题主要考查了数列通项公式以及数列的前n项和的求法，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，一般采取错位相减的方法求数列的前n项和，这种方法要熟练掌握．