Question

【题目】如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环。虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路。在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区。在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的。出租车几何学（taxicab geometry），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样。只是直角坐标系内任意两点，定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：

（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程，并作出大致图像；

（2）在出租车几何学中，到两点、“距离”相等的点的轨迹称为线段的“垂直平分线”，已知点，，；

①写出在线段的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图像；

②求证：三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为的“外心”），并求出的“外心”.

Answer 1

【答案】（1）；（2），若，则；若，则；若，则；②证明略，“外心”

【解析】

（1）利用“圆”的概念，能够求出“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”的方程；

（2）①由已知条件，得，由此能够求出线段的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象；

②设三角形“外心”坐标为，由结合绝对值的性质，求得点的坐标．

（1）“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，

“圆周”上的所有点到点的“距离”均为，

“圆”方程为：；

（2）①由题意知，设到两点距离相等的点的坐标为，

则.

（ⅰ）当时，去绝对值符号得：

整理得，显然或时，该方程无解.

当时，去绝对值符号得：，

整理得：，解得.

则此情况下，与的关系为.

（ⅱ）当时，去绝对值符号得

整理得

当时，去绝对值符号得：即

当时，去绝对值符号得：，舍去；

当时，去绝对值符号得：，舍去；

所以此情况下，与的关系为.

（ⅲ）当时，去绝对值符号得：，

整理得，显然或时，该方程无解.

当时，去绝对值符号得：，解得.

所以.

综上所述，到两点距离相等的坐标为的点的轨迹方程，即线段的垂直平分线的方程为：当时，；当时，；当时，.

②由题意知

由知到点距离相等的点的坐标为满足：

即，解得.

故线段的垂直平分线的方程为.

由知到点距离相等的点的坐标为满足：

解得：.

故线段的垂直平分线的方程为.

则线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的唯一交点坐标为.

由（2）①知，当时，

即线段的垂直平分线也经过点.

所以三边的“垂直平分线”交于一点，且．