Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，点P为双曲线的右支上的一点，且满足∠F₁PF₂=60°，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． 4x²-y²=1
• B． 2x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． 3x²-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1
• D． 5x²-$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，可得b=2a，利用双曲线的定义，结合余弦定理和三角形的面积公式可得b=1，进而得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由一条渐近线方程为y=2x，可得b=2a，
由双曲线定义有|PF₁|-|PF₂|=2a，
两边平方得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4a²-------①
由余弦定理，有|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
即为|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|=4c²----------②
由①②可得|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²=4b²，
则S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin60°=$\frac{1}{2}$•4b²•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$，
解得b=1，a=$\frac{1}{2}$，
即有双曲线的方程为4x²-y²=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线定义和余弦定理及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．