Question

5．在△ABC中，已知：C满足cos（π-C）=$\frac{1}{7}$，a，b两边的长恰是方程3${\;}^{{x}^{2}-4x}$=3^6x-21的两个根，且a＞b，求角A的值．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式可求得cosC，解方程可得a，b的值，利用余弦定理可求c，进而根据余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．

解答 解：∵cos（π-C）=$\frac{1}{7}$，可得：cosC=-$\frac{1}{7}$，
∵a，b两边的长恰是方程3${\;}^{{x}^{2}-4x}$=3^6x-21的两个根，且a＞b，
∴由x²-4x=6x-21，整理可得：x²-10x+21=0，解得：a=7，b=3，
在△ABC中，由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{7}^{2}+{3}^{2}-2×7×3×（-\frac{1}{7}）}$=8，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{3}^{2}+{8}^{2}-{7}^{2}}{2×3×8}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．