Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n＞0，且满足2a²_n+1-a_n²-1=0（n∈N），求a_n，用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 根据递推式依次计算a₂，a₃，a₄，根据各项的特点猜想a_n，验证n=1时猜想是否成立，假设n=k猜想成立，推导n=k+1时猜想是否成立得出结论．

解答 解：∵2a²_n+1-a_n²-1=0，a_n＞0，
∴a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2}}$，
∴a₂=$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{2}}$，
a₃=$\sqrt{\frac{{{a}_{2}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{4}}$，
a₄=$\sqrt{\frac{{{a}_{3}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{11}{8}}$，
猜想：a_n=$\sqrt{\frac{{2}^{n-1}+3}{{2}^{n-1}}}$．
证明：（1）当n=1时，a₁=$\sqrt{\frac{4}{1}}$=2，显然猜想成立，
（2）假设当n=k时，猜想成立，即a_k=$\sqrt{\frac{{2}^{k-1}+3}{{2}^{k-1}}}$，
当n=k+1时，a_k+1=$\sqrt{\frac{{{a}_{k}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{\frac{{2}^{k-1}+3}{{2}^{k-1}}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{k-1}+3+{2}^{k-1}}{2•{2}^{k-1}}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{k}+3}{{2}^{k}}}$，
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴a_n=$\sqrt{\frac{{2}^{n-1}+3}{{2}^{n-1}}}$．

点评 本题考查了数列的递推式，数学归纳法证明，属于中档题．