Question

6．求与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1共渐近线且焦点在圆x²+y²=100上的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，设出所求双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=1（m＞0），或$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=-1（m＞0），求得双曲线的焦点，由双曲线的基本量的关系，解方程可得m=4，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=1（m＞0），
由焦点在圆x²+y²=100上，可得焦点为（±10，0），
即c=10=$\sqrt{9m+16m}$，解得m=4，
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1；
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=-1（m＞0），
由焦点在圆x²+y²=100上，可得焦点为（0，±10），
即c=10=$\sqrt{-9m-16m}$，解得m=-4，
可得双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{64}$-$\frac{{x}^{2}}{36}$=1．
综上可得，所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1或$\frac{{y}^{2}}{64}$-$\frac{{x}^{2}}{36}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和焦点坐标，考查运算能力，属于基础题．