Question

16．设函数g（x）=x²-6（x∈R），$f（x）=\left\{\begin{array}{l}g（x）+x+4，x＜g（x）\\ g（x）-x，\;\;\;\;\;x≥g（x）\end{array}\right.$，则f（1）=-6，f（x）的值域是[-$\frac{25}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 （1）求g（1）=-5＜1，从而x=1带入第段函数，便可求出f（1）；
（2）g（x）带入f（x）便可得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2，x＜-2或x＞3}\\{{x}^{2}-x-6，-2≤x≤3}\end{array}\right.$，对每段上的二次函数配方便可得出每段函数的值域，从而求并集即可得出f（x）的值域

解答 解：（1）∵g（1）=1-6=-5＜1，
∴f（1）=g（1）-1=-5-1=-6；
（2）解x＜x²-6得，x＜-2，或x＞3，解x≥x²-6得，-2≤x≤3；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2，x＜-2或x＞3}\\{{x}^{2}-x-6，-2≤x≤3}\end{array}\right.$；
当x＜-2，或x＞3，f（x）=x²+x-2=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$＞f（-1）=-2；
当-2≤x≤3时，f（x）=x²-x-6=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$≥f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{25}{4}$
f（3）=3²-3-6=0，
∴综上，函数f（x）的值域是[-$\frac{25}{4}$，+∞）
故答案为：-6，[-$\frac{25}{4}$，+∞）．

点评 考查已知函数求值的方法，函数值域的概念，解一元二次不等式，分段函数值域的求法，配方求二次函数值域的方法．