Question

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

 (n∈N*)．

Answer 1

分析：利用数学归纳法的证明的步骤，（1）验证n=1时等式成立；（2）设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，证明n=k+1时，等式也成立，即可．

解答：证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=

1×2×3×4

4

=6=左边，
∴等式成立．（2分）
（2）设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，
即1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．（4分）
则当n=k+1时，左边=1×2×3+2×3×4++k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

= k(k+1)(k+2)(k+3) 4 +(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)( k 4 +1)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 4 = (k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3) 4 .

∴n=k+1时，等式也成立．（8分）
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N^*成立．（10分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤和方法，注意n=k+1时，与n=k时等式的结构形式必须一致．