Question

13．设二次函数f（x）=-ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x）；②当x∈（0，2）时，x≤f（x）≤$（\frac{x+1}{2}）^{2}$；③f（x）在R上的最小值为0，求函数 f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据已知可得二次函数f（x）的图象关于直线x=-1对称；f（1）=1；f（-1）=0，构造方程解出a，b，c值，可得函数 f（x）的解析式．

解答 解：∵二次函数f（x）=-ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）满足条件：
①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），即函数图象关于直线x=-1对称；
②当x∈（0，2）时，x≤f（x）≤$（\frac{x+1}{2}）^{2}$，即x=1时，1≤f（1）≤1，即f（1）=1；
③f（x）在R上的最小值为0，故f（-1）=0，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{b}{2a}=-1\\-a+b+c=1\\-a-b+c=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．