Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左、右焦点分别为F₁，F₂，左、右顶点分别为A₁，A₂，上、下顶点分别为B₁，B₂，四边形A₁B₁A₂B₂面积和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，OM⊥ON（其中O为坐标原点），求直线l被以线段F₁，F₂为直径的圆截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）由四边形A₁B₁A₂B₂面积4，得ab=2，由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此求出a，b，从而能求出椭圆C的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用弦长公式、根的判别式、直线垂直、圆的性质，结合已知条件，能求出直线l被圆O截得的弦长．

解答 解：（1）∵四边形A₁B₁A₂B₂与四边形F₁B₁F₂B₂的面积为4．
∴$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，∴ab=2，
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合a²=b²+c²，得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b=$\frac{1}{2}a$，（2分）
∴a²=4，则b=1，∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，
即m²＜4k²+1，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{km}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，（8分）
则${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
由OM⊥ON，得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，即（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$+km•（-$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$）+m²=0，
整理可得${m}^{2}=\frac{4{k}^{2}+4}{5}$，即|m|=$\frac{2\sqrt{5}•\sqrt{{k}^{2}+1}}{5}$，①
把①代入m^2＜4k²+1，得，该不等式恒成立．（10分）
以F₁F₂为直径的圆的圆心为（0，0），半径为$\sqrt{3}$．
圆心O到直线l的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则直线l被圆O截得的弦长为：2$\sqrt{3-\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{55}}{5}$．（12分）

点评 本题考查椭圆方程求法，考查弦长的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．