Question

已知函数f（x）=xe^x+ax²+2x+1在x=-1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数y=xe^x与y=-x²-2x+m的图象有惟一的交点，试求实数m的值．

Answer 1

解：（1）f^/（x）=e^x+xe^x+2ax+2=e^x（x+1）+2ax+2，
由f^/（-1）=0得-2a+2=0，
∴a=1，f（x）=xe^x+x²+2x+1，
f^/（x）=e^x（x+1）+2x+2=（x+1）（e^x+2），
由f^/（x）＞0，得x＞-1；由f^/（x）＜0，得x＜-1；
故函数f（x）的单调增区间为（-1，+∞），单调减区间为（-∞，-1）
（2）函数y=xe^x与y=-x²-2x+m的图象有惟一的交点等价于
方程xe^x=-x²-2x+m，即f（x）=m+1有惟一解，
由（1）f（x）在（-∞，-1）递减，（-1，+∞）递增，
故f（x）在x=-1时取极小值（最小值）．
从而方程f（x）=m+1有惟一解的充要条件是．
所以，函数y=xe^x与y=-x²-2x+m的图象有惟一交点时
分析：（1）求出导函数，令导函数在x=-1处的值为0，列出方程，求出a，将a的值代入f（x），f′（x）；令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．
（2）将图象有惟一的交点转化为方程有唯一的解；将方程变形转化为f（x）与直线y=m+1有唯一解，由（1）求出f（x）的极小值，令极小值等于m+1求出m的值．
点评：本题考查函数在极值点处的导数值是0、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查利用导数求函数的最值、考查等价转化的数学思想方法．