Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠DAB=60°，AB∥CD，AD=CD=2AB，PD⊥底面ABCD，M为PC的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD=

1

2

AD，求二面角D-BM-P的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由余弦定理得BD=

3

，从而BD⊥AB，进而BD⊥DC，BD⊥PD，BD⊥平面PDC，由此能证明BD⊥PC，
（Ⅱ）以D为原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BM-P的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由余弦定理得BD=

1+4-2×1×2×cos60°

=

3

，
∴BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，BD⊥AB，
∵AB∥DC，∴BD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，
BD?底面ABCD，∴BD⊥PD，
又∵PD∩DC=D，
∴BD⊥平面PDC，
又PC?平面PDC，∴BD⊥PC，
（Ⅱ）解：∵AB=1，AD=CD=2，PD=1，
∴由（Ⅰ）知BD⊥平面PDC，
如图，以D为原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（

3

，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，

2

），M（0，1，

2

2

），

DB

=（

3

，0，0），

DM

=（0，1，

2

2

），

CP

=（0，-2，

2

），

CB

=（

3

，-2，0），
设平面BDM的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • DB = 3 x=0 m • DM =y+ 2 2 z=0

，
取z=

2

，得

m

=（0，-1，

2

），
设平面BMP的法向量为

n

=(a，b，c)，
则

n • CP =-2b+ 2 c=0 n • CB = 3 a-2b=0

，
取a=2，得

n

=（2，

3

，

6

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

13

13

，
∴二面角D-BM-P的余弦值为

13

13

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．