【题目】抛物线的方程为
,过抛物线
上一点
作斜率为
的两条直线分别交抛物线
于
两点(
三点互不相同),且满足
:
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)当时,若点
的坐标为
,求
为钝角时点
的纵坐标
的取值范围;
(3)设直线上一点
,满足
,证明线段
的中点在
轴上;
【答案】(1)焦点,准线
;(2)
或
;(3)证明见解析;
【解析】
(1)数形结合,依据抛物线C的标准方程写出焦点坐标和准线方程;
(2)为钝角时,必有
,用
表示
,通过
的范围可得
的范围;
(3)先根据条件求出点M的横坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,证明,可得
的中点在
轴上.
解:(1)由抛物线的方程为
可得,焦点
,准线
;
(2)由点在
上,可得
,所以抛物线为
,
设直线的直线方程
,直线
的直线方程
,
点与
是方程组
的解,将②式代入①式得,
,可得
③,可得
点与
是方程组
的解,将⑤式代入⑤式得,
,可得
,
,
由已知得:,则
⑥,
由③可得,代入
,可得
,
将代入⑥可得
,代入
,可得
,
可得直线、
分别与抛物线C得交点坐标为
,
,于是
,
,
,
因为为钝角且
三点互不相同,故必有
,
可得得取值范围是
,或
,
又点得纵坐标
满足
,当
,
;
当时,
,
故的取值范围:
或
;
(3)设点得坐标为
,由
,则
,
将③与⑥式代入可得:,即
,即线段
的中点在
轴上.
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【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,点
在椭圆
上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P,Q在椭圆上,O为坐标原点,且直线
,
的斜率之积为
,求证:
为定值;
(3)直线l过点且与椭圆
交于A,B两点,问在x轴上是否存在定点M,使得
为常数?若存在,求出点M坐标以及此常数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列与
满足
,
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且数列
是公比等于2的等比数列,求
的值,使数列
也是等比数列;
(3)若,且
,数列
有最大值
与最小值
,求
的取值范围.
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【题目】某公司生产的某批产品的销售量万件(生产量与销售量相等)与促销费用
万元满足
(其中
,
为正常数).已知生产该产品还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
元
件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
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【题目】对于双曲线,若点P(x0,y0)满足
,则称P在
的外部,若点P(x0,y0)满足
>1,则称
在的内部;
(1)若直线y=kx+1上的点都在C(1,1)的外部,求k的取值范围;
(2)若C(a,b)过点(2,1),圆x2+y2=r2(r>0)在C(a,b)内部及C(a,b)上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半,求b、r满足的关系式及r的取值范围;
(3)若曲线|xy|=mx2+1(m>0)上的点都在C(a,b)的外部,求m的取值范围.
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【题目】某电器专卖店销售某种型号的空调,记第天(
,
)的日销售量为
(单位;台).函数
图象中的点分别在两条直线上,如图,该两直线交点的横坐标为
,已知
时,函数
.
(1)当时,求函数
的解析式;
(2)求的值及该店前
天此型号空调的销售总量;
(3)按照经验判断,当该店此型号空调的销售总量达到或超过台,且日销售量仍持续增加时,该型号空调开始旺销,问该店此型号空调销售到第几天时,才可被认为开始旺销?
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【题目】
(本题满分15分)已知m>1,直线,
椭圆,
分别为椭圆
的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,
,
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
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【题目】已知数列和
满足:
,
,
且对一切
,均有
.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列
的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)设,记数列
的前
项和为
,求正整数
,使得对任意
,均有
.
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【题目】等差数列首项和公差都是
,记
的前n项和为
,等比数列
各项均为正数,公比为q,记
的前n项和为
:
(1)写出构成的集合A;
(2)若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列
,求
的一个通项公式;
(3)若q为正整数,问是否存在大于1的正整数k,使得同时为(1)中集合A的元素?若存在,写出所有符合条件的
的通项公式,若不存在,请说明理由.
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