【题目】在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图.分数在85分或85分以上的记为优秀.
（1）根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数，并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数；
（2）若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次，在剩下5次中随机选择2次成绩作为研究对象，求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率.
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】数列
的前
项和为
，若数列的各项按如下规律排列；
有如下运算结论：①
；②数列
是等比数列；③数列的前项和为
；④若存在正整数
，使得
，则
，
其中正确的结论是________（将你认为正确的结论序号都填上）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知命题
：实数
满足
，其中
；命题
：方程
表示双曲线．
（1）若
，且
为真，求实数
的取值范围；
（2）若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】试题分析：
先由命题解
得
；命题
得
，
（1）当
，得命题
，再由
为真，得
真且
真，即可求解
的取值范围．
（2）由
是
的充分不必要条件，则
是
的充分必要条件，根据则
，即可求解实数
的取值范围．
试题解析：
命题
：由题得
，又
，解得
；
命题
： 
，解得
．
（1）若
，命题
为真时， 
，
当
为真，则
真且
真，
∴
解得
的取值范围是
．
（2）
是
的充分不必要条件，则
是
的充分必要条件，
设
， 
，则
；
∴
∴实数
的取值范围是
．
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】已知抛物线顶点在原点，焦点在
轴上，又知此抛物线上一点
到焦点的距离为6．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线
相交于不同的两点
、
，且
中点横坐标为2，求
的值．
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【题目】已知函数
，
.
（Ⅰ）若
为偶函数，求
的值并写出的增区间；
（Ⅱ）若关于
的不等式
的解集为
，当
时，求
的最小值；
（Ⅲ）对任意的
，
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
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【题目】已知椭圆C： 
（
＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于
，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的范围．
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【题目】给出下列四个命题:
①“若
为
的极值点，则
”的逆命题为真命题;
②“平面向量
的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题
，则
④函数
在点
处的切线方程为
.
其中不正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ）
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
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【题目】已知直线
（
）与
轴交于
点，动圆
与直线
相切，并且与圆
相外切，
（1）求动圆的圆心
的轨迹
的方程；
（2）若过原点且倾斜角为
的直线与曲线
交于
两点，问是否存在以
为直径的圆经过点
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
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