【题目】已知椭圆C: (
>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2,上、下顶点分别为B2、B1,O为坐标原点,四边形A1B1A2B2的面积为4,且该四边形内切圆的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若M、N是椭圆C上的两个不同的动点,直线OM、ON的斜率之积等于,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用四边形的面积求得,再利用直线和圆相切进行求解;(Ⅱ)设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系、直线的斜率公式和三角形的面积公式进行求解.
试题解析:(Ⅰ)∵四边形A1B1A2B2的面积为4,又可知四边形A1B1A2B2为菱形,
∴,即ab=2①
由题意可得直线A2B2方程为:,即bx+ay﹣ab=0,
∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为,
∴圆心O到直线A2B2的距离为,即
②
由①②解得:a=2,b=1,∴椭圆C的方程为:
(Ⅱ)若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
由得:(1+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣1)=0∵直线l与椭圆C相交于M,N两个不同的点,
∴△=64m2k2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)>0得:1+4k2﹣m2>0③
由韦达定理:
∵直线OM,ON的斜率之积等于,
∴,
∴,
∴2m2=4k2+1满足③…(9分)
∴,
又O到直线MN的距离为,
,
所以△OMN的面积
若直线MN的斜率不存在,M,N关于x轴对称
设M(x1,y1),N(x1,﹣y1),则,
,
又∵M在椭圆上,,∴
,
所以△OMN的面积S==
=1.
综上可知,△OMN的面积为定值1.
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【题目】已知偶函数满足:当
时,
,
,当
时,
.
()求当
时,
的表达式.
()若直线
与函数
的图象恰好有两个公共点,求实数
的取值范围.
()试讨论当实数
,
满足什么条件时,函数
有
个零点且这
个零点从小到大依次成等差数列.
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【题目】(本小题满分13分)如图所示,已知以点为圆心的圆与直线
相切.过点
的动直线
与圆
相交于
,
两点,
是
的中点,直线
与
相交于点
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线
的方程.
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn,且=9,S6=60.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若数列{bn}满足bn+1﹣bn=(n∈N+)且b1=3,求数列
的前n项和Tn.
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【题目】在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中,得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.分数在85分或85分以上的记为优秀.
(1)根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数,并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数;
(2)若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次,在剩下5次中随机选择2次成绩作为研究对象,求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率.
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【题目】下列命题正确的是__________.
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;
②倾斜角的范围是:,且当倾斜角增大时,斜率不一定增大;
③直线过点
,且横截距与纵截距相等,则直线
的方程一定为
;
④过点,且斜率为1的直线的方程为
.
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【题目】如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形,边长分别是,如图所示,俯视图是一个边长为
的正方形.
(1)求该几何体的表面积;
(2)求该几何体的外接球的体积.
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