【题目】已知函数y=f(x)满足f(x﹣1)=2x+3a,且f(a)=7.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上最大值为2,求实数λ的值.
【答案】
(1)解:f(x﹣1)=2x+3a=2(x﹣1)+3a+2,
则f(x)=2x+3a+2,
∵f(a)=7,
∴2a+3a+2=7,
解得a=1,
∴f(x)=2x+5
(2)解:g(x)=xf(x)+λf(x)+x=x(2x+5)+2λx+5λ=2x2+(6+2λ)x+5λ,
则其对称轴为x=﹣ ,
当﹣ ≤0时,即λ≥﹣3时,函数g(x)在[0,2]上单调递增,故g(x)max=g(2)=9λ+20,
当﹣ ≥2时,即λ≤﹣7时,函数g(x)在[0,2]上单调递减,故g(x)max=g(0)=5λ,
当0<﹣ ≤1时,即﹣5≤λ<﹣3时,g(x)max=g(2)=9λ+20,
当1<﹣ <2时,即﹣7<λ<﹣5时,g(x)max=g(0)=5λ,
故,当λ≥﹣5时,g(x)max=g(2)=9λ+20=2,解得λ=﹣2,
当λ<﹣5时,g(x)max=g(0)=5λ=2,解的λ= ,舍去
综上所述λ的值为﹣2
【解析】(1)根据配凑法即可求出函数的解析式,(2)化简g(x),根据二次函数的性质,分类讨论即可求出λ的值,
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值.
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【题目】已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:
①x>1时,f(x)<0;
②f( )=1;
③对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求证:f( )=﹣f(x);
(2)求证:f(x)在定义域内为减函数;
(3)求满足不等式f(log0.5m+3)+f(2log0.5m﹣1)≥﹣2的m集合.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c满足f(2﹣x)=f(2+x),f(0)>0,且f(m)=f(n)=0(m≠n),则log4m﹣ n的值是( )
A.小于1
B.等于1
C.大于1
D.由b的符号确定
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【题目】已知函数f(x)=x﹣1+ ,(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=1时,若直线l:y=kx﹣1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
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【题目】某科技公司生产一种手机加密芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于为合格品,小于为次品.现随机抽取这种芯片共件进行检测,检测结果统计如表:
测试指标 | |||||
芯片数量(件) |
已知生产一件芯片,若是合格品可盈利元,若是次品则亏损元.
(Ⅰ)试估计生产一件芯片为合格品的概率;并求生产件芯片所获得的利润不少于元的概率.
(Ⅱ)记为生产件芯片所得的总利润,求随机变量的分布列和数学期望
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【题目】广播电台为了了解某地区的听众对某个戏曲节目的收听情况,随机抽取了100名听众进行调查,下面是根据调查结果绘制的听众日均收听该节目的频率分布直方图,将日均收听该节目时间不低于40分钟的听众成为“戏迷”
(1)根据已知条件完成2×2列联表,并判断“戏迷”与性别是否有关?
“戏迷” | 非戏迷 | 总计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
总计 |
附:K2= ,
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
(2)将上述调查所得到的频率当作概率.现在从该地区大量的听众中,采用随机抽样的方法每次抽取1名听众,抽取3次,记被抽取的3名听众中“戏迷”的人数为X,若每次抽取的结果相互独立,求X的分布列,数学期望及方差.
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【题目】平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x﹣1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为 .以O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立坐标系.
(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA||PB|=1,求实数m的值.
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