Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E、F、G分别为线段BC、PA、AB上的点，H为△PCD的重心，PA=AB=3，FA=BG=CE=1．
（1）求证：BF∥平面PDE；
（2）求异面直线GH与PE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF∥平面PDE．
（2）求出$\overrightarrow{GH}$，$\overrightarrow{PE}$，利用向量法能求出异面直线GH与PE所成角的余弦值．

解答 证明：（1以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（3，0，0），F（0，0，1），P（0，0，3），E（3，2，0），D（0，3，0），
$\overrightarrow{BF}$=（-3，0，1），$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-3），$\overrightarrow{PE}$=（3，2，-3），
设平面PDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=3y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=3x+2y-3z=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（1，3，3），
∵$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}$=-3+0+3=0，BF?平面PDE，∴BF∥平面PDE．
（2）C（3，3，0），G（2，0，0），CD中点M（$\frac{3}{2}$，3，0），$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{3}{2}，3，-3$），
∴$\overrightarrow{PH}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{PM}$=（1，2，-2），∴H（1，2，1），
$\overrightarrow{GH}$=（-1，2，1），$\overrightarrow{PE}$=（3，2，-3），
设异面直线GH与PE所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{GH}|•|\overrightarrow{PE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{22}}$=$\frac{\sqrt{33}}{33}$．
∴异面直线GH与PE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{33}}{33}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．