Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和；
（3）若正数数列{c_n}满足c_nⁿ⁺¹=

(n+1)an+1

2n

（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1，求出a_n；
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，及对数的运算性质求出b_n，用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n ；
（3）确定lnc_n=

ln(n+1)

n+1

，构造f（x）=

lnx

x

，确定函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）∵S_n=n²-n，∴当n=1时，有a₁=S₁=0
当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1=（n²-n）-（（n-1）²-（n-1））=2n-2
当n=1时也满足．
∴数列 {a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N^*）
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得：b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
∴数列{b_n}的前n项和T_n =1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n3^2（n-1），
故9T_n =1×3²+2×3⁴+3×3⁶+…+（n-1）3^2（n-1）+n•3²ⁿ，
相减可得-8T_n =1+3²+3⁴+…+3^2（n-1）-n•3²ⁿ=

32n-1

8

-n•3²ⁿ，
∴T_n=

(3n-1)•32n+1

64

；
（3）由c_nⁿ⁺¹=

(n+1)an+1

2n

可得：c_nⁿ⁺¹=n+1，∴lnc_n=

ln(n+1)

n+1

令f（x）=

lnx

x

，则f'（x）=

1-lnx

x2

，
∴n≥2（n∈N^*）时，{lnc_n}是递减数列，
又lnc₁＜lnc₂，
∴数列{c_n}中的最大值为c₂=3

1

3

．

点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．