Question

8．若关于x的不等式x²+ax+9≥0在x≥1时恒成立，则a的取值范围是a≥-6．

Answer 1

分析 根据不等式x²+ax+9≥0在x≥1时恒成立，得出a≥-（x+$\frac{9}{x}$）在x≥1时恒成立；构造函数f（x）=-（x+$\frac{9}{x}$），x≥1，求f（x）_max即可得出结论．

解答 解：关于x的不等式x²+ax+9≥0在x≥1时恒成立，
∴a≥-（x+$\frac{9}{x}$）在x≥1时恒成立；
构造函数f（x）=-（x+$\frac{9}{x}$），其中x≥1，
∴a≥f（x）_max；
∵x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6，当且仅当x=$\frac{9}{x}$，即x=3时取“=”；
∴函数f（x）=-（x+$\frac{9}{x}$）在x≥1时有最大值为f（3）=-6，
∴a的取值范围是a≥-6．
故答案为：a≥-6．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），体现了转化思想在解题中的应用．