Question

9．已知F是双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，垂线PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d²，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式，由b²x²-a²y²=a²b²及双曲线的性质，即可求得$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，|FP|=2d，即可求得a与c的关系，求得双曲线的离心率．

解答 解：双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），双曲线上任意一点Q（x，y）到两条渐近线ay±bx=0的距离，
则d₁=$\frac{丨ay-bx丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，d₁=$\frac{丨ay+bx丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
则d₁d₂=$\frac{{丨a}^{2}{y}^{2}-{b}^{2}{x}^{2}丨}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由Q在双曲线上，则b²x²-a²y²=a²b²，
d₁d₂=$\frac{{b}^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，
F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b=2d，
∴$\frac{ab}{c}$=$\frac{b}{2}$，
∴则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故选B．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．