Question

6．已知A（-3，0），圆C：（x-a-1）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1上存在点M，满足条件|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围为$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$∪$[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

Answer 1

分析 求出M在圆心为D（1，0），半径为2的圆上，根据点M在圆C上，可得圆C与圆D有公共点，从而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范围．

解答 解：设M（x，y），
∵A（-3，0），圆C：（x-a-1）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1上存在点M，满足条件|MA|=2|MO|，
∴$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，即x²+y²-2x-3=0，
∴点M在圆心为D（1，0），半径为r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+12}$=2的圆上．
又点M在圆C：（x-a-1）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1上，
∴圆C与圆D有公共点，
∵圆C的圆心C（a+1，$\sqrt{3}a$），半径r′=1，
∴1≤|CD|≤3，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+3{a}^{2}}$=2|a|≤3，
解得-$\frac{3}{2}≤a≤-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}≤a≤\frac{3}{2}$，
∴实数a的取值范围为$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$∪$[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．
故答案为：$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$∪$[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、两圆位置关系的合理运用．