Question

9．函数f（x）=（3x-1）（$\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1）+（2x-3）（$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1）的图象与x轴的交点坐标为（$\frac{4}{5}$，0）．

Answer 1

分析 由题意转化为方程f（x）=（3x-1）（$\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1）+（2x-3）（$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1）=0的解，从而可得（3x-1）（$\sqrt{（3x-1）^{2}+4}$+1）=（3-2x）（$\sqrt{（3-2x）^{2}+4}$+1），再令g（x）=x（$\sqrt{{x}^{2}+4}$+1），从而求导以判断函数的单调性，从而解得．

解答 解：由题意，
令f（x）=（3x-1）（$\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1）+（2x-3）（$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1）=0，
即（3x-1）（$\sqrt{（3x-1）^{2}+4}$+1）=（3-2x）（$\sqrt{（3-2x）^{2}+4}$+1），
令g（x）=x（$\sqrt{{x}^{2}+4}$+1），g′（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+1+$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$＞0，
故g（x）=x（$\sqrt{{x}^{2}+4}$+1）在R上单调递增；
故3x-1=3-2x，
解得，x=$\frac{4}{5}$；
故答案为：（$\frac{4}{5}$，0）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数与方程的关系应用．