Question

【题目】已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.2
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】当双曲线的焦点在 轴上时，双曲线的焦点坐标为 ，双曲线的渐近线方程为 ，实半轴长为 ，根据点到直线距离的坐标公式得，焦点到渐近线的距离为 ，根据题意知，焦点到渐近线的距离等于实半轴长，即 ，又因为双曲线满足 ，所以 ，离心率 ；当双曲线焦点在 轴上时，双曲线的焦点坐标为 ，双曲线的渐近线方程为 ，实半轴长为 ，同理可得： ，所以 ，离心率 .综上所述，双曲线离心率 .
故本题正确答案为
分焦点在x轴和y轴两种情况来讨论，当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的焦点坐标为 ( ± c , 0 ) ，双曲线的渐近线方程为 a y ± b x = 0 ，实半轴长为 a ，根据点到直线距离的坐标公式得，焦点到渐近线的距离为 ，根据题意知，焦点到渐近线的距离等于实半轴长，即 b = a ，又因为双曲线满足 a2 + b2= c2 ， 所以 c =a ，离心率 e = ；当双曲线焦点在 y 轴上时，双曲线的焦点坐标为 ( 0 , ± c ) ，双曲线的渐近线方程为 a x ± b y = 0 ，实半轴长为 b ，同理可得： a = b ，所以 c = 2 a ，离心率 e = 综上所述，双曲线离心率e = .
故本题正确答案为