【题目】已知抛物线C的一个焦点为,对应于这个焦点的准线方程为
(1)写出抛物线C的方程;
(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点,O点为坐标原点,求△AOB重心G的轨迹方程;
(3)点P是抛物线C上的动点,过点P作圆的切线,切点分别是M,N.当P点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.
【答案】(1)抛物线方程为: ;(2)
;(3)P(2,±2),|MN|取最小值
.
【解析】试题分析:
(1)由直线方程可得抛物线方程为;
(2)利用重心坐标公式消去参数可得轨迹方程为: ;
(3)利用圆的性质结合题意可得满足题意时点P的坐标为P(2,±2),且|MN|取最小值.
试题解析:
(1)抛物线方程为: .
(2)①当直线不垂直于x轴时,设方程为,代入
,
得:
设,则
,
设△AOB的重心为
则
,
消去k得为所求,
②当直线垂直于x轴时,
△AOB的重心也满足上述方程.
综合①②得,所求的轨迹方程为
(3)设已知圆的圆心为Q(3,0),半径,
根据圆的性质有: 当|PQ|2最小时,|MN|取最小值,
设P点坐标为,则
∴当,
时,
取最小值5,
故当P点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值.
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【题目】已知函数f(x)=ax3-x2+1(xR),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=loga (其中a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;
(3)若x∈时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a的值.
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【题目】三棱锥中,
, △
是斜边
的等腰直角三角形, 以下结论中: ① 异面直线
与
所成的角为
;② 直线
平面
;③ 面
面
;④ 点
到平面
的距离是
. 其中正确结论的序号是 ____________________ .
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【题目】如图甲,直角梯形中,
,
,点
分别在
上,且
,
,
,现将梯形
沿
折起,使平面
与平面
垂直(如图乙).
(Ⅰ)求证: 平面
;
(II)当的长为何值时,二面角
的大小为
?
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【题目】如图,在四棱锥中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.
(1)求到平面
的距离
(2)在线段上是否存在一点
,使
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇,2016年双11期间,某购物平台的销售业绩高达一千多亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(Ⅰ)请完成如下列联表;
(Ⅱ)是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(Ⅲ)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.
(,其中
)
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【题目】已知函数,
满足关系
(其中
是常数).
()如果
,
,求函数
的值域;
()如果
,
,且对任意
,存在
,
,使得
恒成立,求
的最小值;
()如果
,求函数
的最小正周期(只需写出结论).
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