Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与轨迹C交于A，B两点．
（1）求出轨迹C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求弦长|AB|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足 

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，由此利用韦达定理、弦长公式能求出弦长|AB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，
长半轴为2的椭圆．…（2分）
它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，…（4分），
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐标满足 

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，
消去y，整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．…（8分）
若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．…（9分）
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化简得-4k²+1=0，所以k2=

1

4

．…（11分）|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 [ 4k2 (k2+4)2 + 12 k2+4 ]

=

4 65

17

．…（13分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．