Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点，离心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求证λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

5

+y2=1，根据题意得：

b=1 e= c a = 2 5 5

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）椭圆C的右焦点F（2，0），根据题意可设l：y=k（x-2），则M（0，-2k），由

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

得：（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能证明λ₁+λ₂为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
它的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点，离心率等于

2 5

5

，
∴设椭圆方程为

x2

5

+y2=1，
根据题意得：

b=1 e= c a = 2 5 5

，
解得a²=5，b²=1，所以椭圆C的方程为：

x2

5

+y2=1．
（Ⅱ）证明：椭圆C的右焦点F（2，0），
根据题意可设l：y=k（x-2），则M（0，-2k），
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

得：（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
所以

x1+x2= 20k2 1+5k2 x1x2= 20k2-5 1+5k2

，且△＞0，
由

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，得（x₁，y₁+2k）=λ₁（2-x₁，-y₁），
（x₂，y₂+2k）=λ₂（2-x₂，-y₂），
所以λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

，
所以λ1+λ2=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-10．
故λ₁+λ₂为定值．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．