Question

3．设x₁，x₂是函数f（x）=（a-1）x³+bx²-2x+1（a≥2，b＞0）的两个极值点，且$|{x_1}|+|{x_2}|=2\sqrt{2}$，则实数b的取值范围是[2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意求导f′（x）=3（a-1）x²+2bx-2，从而可得x₁，x₂是方程3（a-1）x²+2bx-2=0的两个根，
利用根与系数的关系可得x₁+x₂，x₁x₂．，可知x₁，x₂异号，从而可化简|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，从而解得．

解答 解：∵f（x）=（a-1）x³+bx²-2x，
∴f′（x）=3（a-1）x²+2bx-2，
∴x₁，x₂是方程3（a-1）x²+2bx-2=0的两个根，
∴x₁+x₂=$\frac{-2b}{3（a-1）}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3（a-1）}$，
∵a≥2，b＞0，∴两根一正一负，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，⇒（${x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}=8$²-4x₁x₂=8
∴$（\frac{-2b}{3（a-1）}）^{2}+4×\frac{2}{3（a-1）}=8$
∵a-1≥1，b＞0
故b²=18（a-1）²-6（a-1）≥18-6=12，⇒b≥2$\sqrt{3}$
故答案为：$[2\sqrt{3}，+∞）$．

点评 本题考查了导数的综合应用及二次方程中根与系数的关系应用，属于中档题．