Question

6．函数f（x）=-$\frac{A}{ω}$cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的导函数的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值等于$\frac{8}{π}$．

Answer 1

分析 根据f′（x）=Asin（ωx+φ）的图象，由由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，有特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的周期性，求得要求式子的值．

解答 解：函数f（x）=-$\frac{A}{ω}$cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的导函数f′（x）=Asin（ωx+φ）的图象，
可得A=2，把原点（0，0）代入，可得sinφ=0，故可取φ=0．
再根据$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=2，求得ω=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=-$\frac{8}{π}$cos（$\frac{π}{4}$x）．
再根据函数的周期 T=8，又f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）]-f（2016）
=252×0-f（2016）=0-f（8）=$\frac{8}{π}$，
故答案为：$\frac{8}{π}$．

点评 本题主要考查余弦函数的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，有特殊点的坐标求出φ的值，余弦函数的周期性的应用，属于中档题．