Question

9．已知二次函数f（x）=ax²+1（x∈R）的图象过点A（-1，3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）A代入函数的解析式，求出a，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用导数知识证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．

解答 （Ⅰ）解：∵二次函数f（x）=ax²+1（x∈R）的图象过点A（-1，3），
∴a+1=3，∴a=2，
∴函数的解析式为f（x）=2x²+1-----------------------------------------（6分）
（Ⅱ）证明：∵f（x）=2x²+1，
∴f′（x）=4x，
∵x＜0，∴f′（x）=4x＜0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上是减函数．----------------------------------------------（14分）

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，比较基础．