Question

19．设函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（1）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=1处有极值，请证明：对任意$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，都有|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出a的值，求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=$a{e^x}（x+\frac{1}{a}）（x+2）$，
当$a=\frac{1}{2}$时，$f'（x）=\frac{1}{2}{e^x}{（x+2）^2}≥0$，f（x）在R上单调递增；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0，解得x＞-2或$x＜-\frac{1}{a}$；f'（x）＜0，解得$-\frac{1}{a}＜x＜-2$，
故函数f（x）在$（-∞，-\frac{1}{a}）$和（-2，+∞）上单调递增，在$（-\frac{1}{a}，-2）$上单调递减．
当$a＞\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0，解得$x＞-\frac{1}{a}$或x＜-2；f'（x）＜0，解得$-2＜x＜-\frac{1}{a}$，
故函数f（x）在（-∞，-2）和$（-\frac{1}{a}，+∞）$上单调递增，在$（-2，-\frac{1}{a}）$上单调递减．
所以当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，f（x）的单调递增区间是$（-∞，-\frac{1}{a}）$和（-2，+∞），单调递减区间是$（-\frac{1}{a}，-2）$；
当$a＞\frac{1}{2}$时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和$（-\frac{1}{a}，+∞）$，单调递减区间是$（-2，-\frac{1}{a}）$．
（2）证明：∵x=1时，f（x）有极值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=-1，
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f'（x）=-e^x（x-1）（x+2），
由f'（x）＞0，得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上单调递增．
∵$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，
∴|f（cosθ）-f（sinθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道中档题．