Question

14．为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.75，则$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 9
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 根据平均数的定义求出a+b=3，再利用基本不等式求出$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（a+11+13+20+b）=11.75，
∴a+b=3；
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）•$\frac{a+b}{3}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{4b}{3a}$+$\frac{a}{3b}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{5}{3}$+$\frac{4b}{3a}$+$\frac{a}{3b}$≥$\frac{5}{3}$+2•$\sqrt{\frac{4b}{3a}•\frac{a}{3b}}$
=$\frac{5}{3}$+2×$\frac{2}{3}$
=3，
当且仅当a=2b，即a=2，b=1时取“=”；
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为3．
故选：C．

点评 本题考查了平均数的定义与基本不等式的应用问题，是基础题．