Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\sqrt{3}$cos2A+1=4sin（$\frac{π}{6}$+A）•sin（$\frac{π}{3}$-A）
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{2}$，且b≥a，求$\sqrt{2}$b-c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin2A=1，结合范围2A∈（0，2π），可求A的值．
（Ⅱ）利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\sqrt{2}$b-c=2sin（B-$\frac{π}{4}$），结合范围0≤B-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$cos2A+1=4sin（$\frac{π}{6}$+A）•sin（$\frac{π}{3}$-A）=2sin（$\frac{2π}{3}$-2A），
∴$\sqrt{3}$cos2A+1=2sin（$\frac{2π}{3}$-2A）=$\sqrt{3}$cos2A+sin2A，可得：sin2A=1，
∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），
∴2A=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{4}$．…6分
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{2}$，
∴由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2，得b=2sinB，c=2sinC，
∴$\sqrt{2}$b-c=2$\sqrt{2}$sinB-2sinC=2$\sqrt{2}$sinB-2sin（$\frac{3π}{4}$-B）=2sin（B-$\frac{π}{4}$）．
∵b≥a，
∴$\frac{π}{4}$≤B＜$\frac{3π}{4}$，即0≤B-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴$\sqrt{2}$b-c=2sin（B-$\frac{π}{4}$）∈[0，2）．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．